« Les souvenirs viennent à ma rencontre », tel est le titre des mémoires d’Edgar Morin, ce qui m’avait interrogé à l’époque de sa publication, en 2019, comme si des souvenirs pouvaient avoir une vie indépendante de nos volontés ! Mais, depuis que je travaille sur cet article pour vous faire part de quelques-uns de mes souvenirs, je me dis finalement que c’est sans doute vrai : certains d’entre-eux émergent sans que j’y pense volontairement, convoquant d’autres à leur suite !

Parmi tous ces souvenirs, il y a ceux dont les mathématiques sont centrales, notamment lors de ma scolarité bien entendu mais aussi sans y être lié. Ainsi, sans doute le plus ancien dont je me souviens, je devais être en CM1, à propos d’une des visites d’une cousine plus âgée d’environ quinze ans et qui étudiait à la fac Saint-Charles. Nous habitions sur la Canebière qui n’est pas loin de ce centre universitaire marseillais et, avec mes frères et sœur autour d’elle, elle nous avait présenté un de ses cahiers de mathématiques sur lesquels on pouvait voir des signes étranges et fascinants. Je ne saurais vous dire quels étaient ces signes avec exactitude mais pour vous en donner une idée, ce devait être quelque chose de similaire à la définition de la limite d’une fonction ou d’une suite. Cela est d’ailleurs commun à beaucoup de mes souvenirs : les détails sont nimbés comme d’un brouillard plus ou moins dense ; ce qui n’empêche par certains d’être très vivace !

Cette fascination je l’éprouvai aussi plus tard lorsqu’au lycée on arrivait dans une salle et que le tableau du cours précédent n’avait pas encore été effacé : je trouvais merveilleuses ces écritures que je n’arrivais pas à interpréter, sources de promesses de connaissances ultérieures.

Autre souvenir également non scolaire à propos de mon premier livre de maths dont vous trouverez une évocation dans un article des Chantiers n°165 de juin 2015. En relisant cet article, je me rends compte que les souvenirs dont je viens de vous parler y sont déjà mentionnés. Décidément, ces souvenirs s’invitent souvent !

Bien entendu, la plupart de mes souvenirs évoquant les mathématiques sont d’ordre scolaire. Le plus ancien a pour objet la fameuse règle de trois dont je ne comprenais pas comment la mettre en œuvre ! Ce devait être en CM2. Il s’agissait de prendre un nombre, de le multiplier par un autre puis de diviser le résultat par un troisième, ce qui permettait d’obtenir la réponse à la question mais je ne voyais pas quels nombres intervenaient dans cette multiplication et cette division ! Pour contourner cette difficulté, j’avais alors inventé une méthode qui mettait en correspondance les deux grandeurs à l’aide d’une flèche puis il me suffisait de multiplier ou de diviser cet ensemble par un nombre pour trouver à coup sûr la bonne réponse. J’ai repris cette méthode avec mes élèves de sixième pour la résolution de problèmes de proportionnalité.

En y réfléchissant, ces schémas fléchés forment un espace vectoriel puisqu’on peut les combiner linéairement. À l’époque, ce devait être en 1966/1967 et les mathématiques enseignées n’étaient pas encore modernes ; ce n’est qu’en seconde que j’ai appris ce qu’était un espace vectoriel. Comment ai-je eu une telle idée pour résoudre des problèmes de proportionnalité, la méthode classique de la règle de trois m’étant alors incompréhensible, je n’en ai aucun souvenir…

En fin d’école primaire, mon niveau était tel que j’ai dû passer le concours d’entrée en sixième. Je n’ai aucun souvenir de cet examen. Cependant je me rappelle que tout le monde avait été surpris que je le réussisse ! À cette occasion, un livre m’avait été offert par mon instituteur pour l’entrée en sixième ; j’ai perdu ce roman mais, à l’époque je l’ai lu et relu un certain nombre de fois : le héros est obligé de quitter sa tribu préhistorique pour je ne sais plus quelle raison et, après de nombreuses aventures initiatiques, il est de retour pour sauver sa tribu.

Les maths modernes sont arrivées en 1970 lorsque j’ai doublé la classe de cinquième : ce programme, complètement différent des années passées, devait bien me convenir car j’ai de bons souvenirs dans lesquels interviennent des diagrammes s’imbriquant ou se coupant, ou encore avec des flèches entre les éléments pour représenter des relations les concernant. Autre souvenir de cette année de cinquième avec une démonstration lumineuse de $(-1) \times (-1) = +1$ que j’ai évoqué dans un article des Chantiers n°194 d’octobre 2022. Je précise que je n’ai pratiquement aucun souvenir de mon année de sixième et de ma première année de cinquième.

En classe de quatrième, je me souviens principalement de deux choses, la première concerne la définition de la droite et la deuxième l’utilisation de la projection sur une droite parallèlement à une autre.

Cette définition de la droite donnée à cette époque m’avait semblé curieuse mais pas incompréhensible car je l’avais interprétée comme étant liée à la possibilité de graduer une droite, la définition n’étant que la traduction que l’on pouvait passer d’une graduation à une autre par un agrandissement ou une réduction, effet combiné éventuellement par une translation. C’est du moins l’interprétation que j’en avais faite à l’époque.

Pour l’utilisation d’une projection dans les exercices, je me souviens que je n’arrivais pas à convoquer un tel outil pour résoudre des exercices ; ce n’était que lors de la correction, avec la prise en compte de parallèles pourtant bien présentes dans les données, que cela me devenait évident. À chaque fois je me demandais pourquoi je n’y avais pas pensé.

En classe de troisième, j’ai le souvenir d’une démonstration du théorème de Pythagore utilisant l’algèbre, ce qui m’avait semblé extraordinaire pour de la géométrie. Je me souviens aussi qu’on abordait la géométrie analytique avec des formules du type $aa’+ bb’ = 0$ ou $aa’ = -1$ pour montrer que deux droites sont perpendiculaires. Du côté de l’algèbre, j’aimais bien les égalités à trou avec des variables, du style $x^2+xy+…-1=(…+1)(x-+…)$. Du côté de la géométrie, j’aimai bien les démonstrations utilisant essentiellement les propriétés des parallélogrammes.

En fin d’année de 3^e, lors d’une permanence, je feuilletai un manuel de mathématiques et, au détour d’une page, était présentée la propriété d’un point sur un cercle formant un triangle rectangle avec un diamètre mais sans la démontrer : je me demandai pourquoi cette propriété ne faisait pas partie des programmes car elle me paraissait incroyable de simplicité. J’en avais d’ailleurs élaboré une démonstration utilisant le théorème de la droite des milieux puis, je ne sais pourquoi, j’avais aussi établi le théorème de la droite des milieux en partant de cette propriété. Ainsi, ces deux théorèmes étaient équivalents, ce qui m’avait étonné car jusqu’à présent l’enchaînement des théorèmes me semblait linéaire ; là, je découvrais que non.

En seconde, mes souvenirs concernent la logique qui était étudiée à partir de tables de vérité et les espaces vectoriels, avec des démonstrations qui permettent d’obtenir les propriétés $0 \cdot \vec{V} = \vec{0}$ et $\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}$ qui me paraissaient évidentes et j’avais trouvé étonnant dans la démonstration de remplacer $0$ par $0+\alpha$ ou $\vec{0}$ par $\vec{0}+\vec{0}$ pour les établir. En y réfléchissant maintenant, cette démonstration est similaire à celle de $(-1) \times (-1) = +1$ qui m’avait marqué en 5^e.

En 1^re, rien de particulier dans mes souvenirs qui sont sans doute assez communs aux élèves de ma génération. C’est vers cette époque que j’ai trouvé deux livres de mathématiques dans le grenier d’une maison familiale à Bandol : mon arrière-grand-père était capitaine au long-cours et il avait dû faire des études à un certain niveau pour être capable de naviguer sur un trois-mats qui lui appartenait. L’un des livres était consacré à la géométrie, l’autre à l’algèbre. Il y avait aussi un portulan de la Méditerranée et un livre de géométrie sphérique.

Dans le livre de géométrie, j’y ai trouvé des notions pas du tout enseignées lors de ma scolarité telles que les angles correspondants, alternes-internes, les égalités des triangles… Dans le livre d’algèbre, j’y ai aussi découvert des propriétés étonnantes telles que si des fractions sont égales, elles sont aussi égales à la fraction dont le numérateur est la somme des numérateurs et le dénominateurs la somme des dénominateurs.

Fort de ces découvertes extra-scolaires, j’avais pris l’habitude d’acheter des petits livres comme 100 jeux numériques de Pierre Berloquin dont les astuces me ravissaient, Comprendre l’algèbre, de G. Braun et J. Los, qui donnait les bases des calculs et contenait des indications historiques, ou ceux de la collection Que sais-je aux Presses Universitaires de France. Par exemple ceux de Jean Itard, Arithmétique et théorie des nombres, Les nombres premiers ou encore Courbes et surfaces de Jean Taillé ; des lectures qui m’ont passionné.

En ce qui concerne Arithmétique et théorie des nombres de Jean Itard, j’y ai découvert beaucoup de propriétés arithmétiques ainsi que le raisonnement par récurrence : j’ai retrouvé tout cela l’année d’après, dans les cours de terminale. Dans ce petit livre, il y avait bien d’autres choses comme le raisonnement de la descente infinie de Fermat ou encore l’utilisation de matrices carrées pour les fractions continues. Et il me revient en mémoire qu’en Math’Sup, lors d’un contrôle, il y avait un exercice sur des suites homographiques : je ne me souvenais pas de la méthode vue en cours pour ce type d’exercice et il m’est venu à l’esprit d’utiliser des matrices carrées comme pour les fractions continues, ce qui m’a permis de résoudre l’exercice.

Comme pour l’épisode de l’exercice au sujet des suites homographiques, un autre souvenir du même ordre : j’étais en première année de mon école d’ingénieur et on avait un contrôle avec un exercice qui modélisait une corde que l’on pinçait pour la relâcher et je ne me souviens plus exactement ce qu’on demandait mais je ne savais pas comment répondre à la question. Cependant, je me suis souvenu d’un cours, donné la veille ou le matin même par un autre professeur, présentant les séries de Fourier que j’ai alors utilisées pour résoudre cet exercice.

Pour revenir à l’année de terminale, j’avais acheté les annales des deux années précédentes et je faisais les différents exercices et problèmes au fur et à mesure que l’avancée dans le cours m’en donnait la possibilité ; ainsi, il y a des problèmes que je ne faisais qu’en partie puis que je reprenais par la suite, ce qui était par exemple le cas lorsqu’il était question d’intégrales. Finalement, j’avais pratiquement tout travaillé ; et surtout repéré que l’on avait souvent les mêmes types d’exercices et problèmes, ce qui me permettait d’aller beaucoup plus vite pour en résoudre d’autres par la suite.

Je faisais également pas mal d’exercices et problèmes du manuel ; notamment l’un d’eux introduisant la notion de filtre, ce que j’avais trouvé extraordinaire car cette notion unifiait toutes les définitions sur les limites vues en cours.

Lors de mon année de Math’Sup, j’avais acheté une calculatrice programmable : une HP 25. Mes économies de l’époque y étaient toutes passées ! Je m’étais ainsi initié à la programmation et j’avais même suivi des ateliers à la fac Saint-Charles sur la programmation en Basic. Lorsqu’il avait fallu choisir une école d’ingénieur, j’étais très attiré par l’informatique mais comme je trouvais cela facile, je m’étais orienté vers une école d’électronique qui était pour moi un domaine totalement inconnu en me disant que c’était une bonne occasion de le découvrir.

Il n’y a pas que de bons souvenirs de maths. Par exemple, c’était peut-être lors de mon année en Terminale ou celle en Math’Sup, en lisant un Que sais-je d’Alain Bouvier, La théorie des ensembles. Tout allait bien au début et je retrouvais les diverses propriétés que j’avais travaillées au collège puis au lycée mais, arrivé au dernier chapitre, patatras, les paradoxes étaient là ! Cela m’a foutu le moral à zéro : pour moi il ne pouvait y avoir d’incohérence en mathématique et je ne comprenais pas comment cela était possible. Il y avait bien une présentation de l’axiomatisation de la théorie des ensembles mais c’était trop bref et peu satisfaisant à mon goût. Ces questions n’étaient pas abordées en classe et, pour combler le vide ainsi créé, je me suis procuré dans les années qui ont suivi des livres approfondissant ces notions : La théorie axiomatique des ensembles de Jean-Louis Krivine, Introduction à la logique d’Alfred Tarski, Logique mathématique de Sephen Kleene entre autres.

Bien d’autres souvenirs parlant de mathématique me rendent visite de temps en temps et ceux que j’ai partagés avec vous permettront sûrement à un plus grand nombre de vos souvenirs de vous rendre visite à leur tour. En ce qui me concerne, j’aime bien lire les souvenirs de personnalités qui sont des passeurs de mathématiques : Étienne Ghys, Cédric Villani, David Bessis, Hugo Duminil-Coppin, Mickaël Launay notamment. La diversité des façons d’aborder les mathématiques est une chose précieuse et joyeuse.

Les chantiers de pédagogie mathématique n°210 octobre 2026
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS