Approche du calcul des probabilités par l’imaginaire des élèves : de l’oxymore à la pertinence
Article mis en ligne le 23 décembre 2019
dernière modification le 5 février 2020

par Fabienne Gléba, Sylviane Schwer

 

« La compréhension est un cas particulier du malentendu »

Le 23 novembre 2019, à la journée de la régionale Île-de-France de l’APMEP, a été proposé un atelier dans lequel Fabienne Gléba a présenté une introduction récréative et spiralée des probabilités tout le long de la classe de cinquième, à partir des à priori des élèves. Fabienne développe cette activité depuis quelques années au collège de Lattre de Tassigny (Le Perreux-sur-Marne, 94).

Sylviane Schwer est intervenue pour mettre en perspective ce travail par une étude historique du terme « hasard » et des jeux de dés, en particulier en proposant d’introduire une étude du « quinquenove » en suivant Leibniz.

Nos deux collègues sont membres du groupe « Mathématique, histoire et citoyenneté » de l’IREM Paris-Nord. Le diaporama qui a servi de support à cet atelier est disponible en téléchargement.

 

Un travail sur le lexique

Les mathématiques utilisent souvent les termes du lexique commun à des fins particulières. Aussi, travailler sur la signification des termes est, pour l’IREM de Paris Nord, un incontournable quelque soit le domaine étudié et le niveau de classe. L’originalité de l’approche de Fabienne a été de poser des questions sur l’issue d’un jeu de dé, amenant les élèves à utiliser eux-mêmes le terme de « hasard », objet de l’étude.

 

Une approche récréative et spiralée

Depuis la réforme du collège en 2016, les probabilités s’enseignent dès la classe de cinquième. J’ai ainsi réfléchi à une nouvelle progressivité des apprentissages, mettant l’accent sur une lente maturation de la réflexion des élèves, faisant une large place à l’expérimentation et à la mise en place des concepts. La démarche proposée s’effectue en trois phases : représentation à priori, expérimentation et institutionnalisation.

Cette démarche nécessite un temps « perlé », quelques minutes (10 à 15 min) par séance, qui sont devenues une véritable récréation, c’est-à-dire un temps où l’on fait autre chose pour se délasser du travail que l’on vient d’accomplir. Ce temps est vite perçu par les élèves comme une récompense, même quand il s’agira de répondre à des questions flashs sur le vocabulaire des probabilités.

 

Le hasard : représentations initiales

Quant aux représentations initiales des élèves concernant le terme « hasard », plusieurs questions peuvent être posées, mais les réponses et réactions à une seule d’entre-elles ont suffi pour faire émerger le mot hasard ainsi que la notion de « mémoire » du hasard :

Cette question a suscité un tel débat dans la classe que nous n’avons pas eu le temps de traiter les autres questions. Quand je leur ai donné la réponse, la séance suivante, les élèves ont demandé si « l’on pouvait le prouver ! » Une simulation de lancers d’un dé faite sur tableur leur a été présentée sans explication immédiate. Elle a permis aussi de s’interroger sur les conditions expérimentales de lancers, la nature des dés, des objets (truqués ?) etc.

Ensuite, la consigne donnée fut la suivante :

Cela permet de construire le champ sémantique du mot « hasard », occasion de coopérer avec l’enseignant de français qui peut rebondir sur le thème dans un cadre littéraire. Une discussion autour de ces mots s’est organisée : leurs significations pour certains mots ainsi qu’un classement selon une signification positive, négative, neutre, relative ou non au jeu. La notion de « mémoire du hasard » est également apparue.

Cette partie s’est terminée par l’élaboration d’une définition commune pour la classe du terme « hasard ».

 

Étymologie du mot hasard

Sylviane est alors intervenue pour donner les étymologies possibles du mot « hasard », toutes issues du monde arabe autour des jeux de dés, ainsi que de ses usages dans l’histoire de la langue française, des mathématiques du XVIIe siècle et ses liens avec la monarchie et la religion.

Elle a ensuite présenté un panorama rapide de l’histoire des jeux de hasard en France et leur lien avec les problèmes économiques et politiques. Les fameux problèmes du duc de Toscane, du chevalier de Méré et du duc de Roannez posés respectivement à Galilée, Pascal et Leibniz ont été discutés autour du problème de l’équité.

 

Expérimentations

Des expérimentations ont été développées autour de l’énoncé suivant :

On considère deux jeux de hasard et on se demande s’ils sont équitables ou non.

  • Jeu A : « jeu des produits ».
    À chaque partie, on lance deux dés et on multiplie les nombres obtenus. Le joueur 1 gagne si le produit est impair. Le joueur 2 gagne si le produit est pair. On te propose de jouer au « jeu des produits ». Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2 ?
     
  • Jeu B : « jeu des sommes ».
    À chaque partie, on lance deux dés et on additionne les nombres obtenus. Le joueur 1 gagne si la somme est impaire. Le joueur 2 gagne si la somme est paire. On te propose de jouer au « jeu des sommes ». Choisis-tu d’être le joueur 1 ou bien le joueur 2 ?

Les élèves sont libres de leur méthode : utilisation des dés ou modélisation directe ou simulation par tableur ou programme.

En 5e, les élèves ont choisi soit les dés, soit la modélisation pour aboutir au fait que « ce n’est pas que du hasard » : on ne peut pas dire qui gagnera mais l’on peut quantifier les « chances de gagner ».

Les élèves ont beaucoup apprécié cette activité, ludique d’une part mais aussi parce qu’elle a fait évoluer leur façon de penser. Ils ont demandé si on pourrait en faire d’autres. L’occasion pour Fabienne de leur montrer un programme utilisant « scratch » sur les jeux.

 

Institutionnalisation

Il s’agit essentiellement d’asseoir le vocabulaire des probabilités et en particulier celui de l’évaluation probabiliste de l’occurrence d’un événement en faisant passer les élèves du registre usuel essentiellement temporel au registre probabiliste, puis du registre qualitatif au registre quantitatif en deux activités.

Le premier type d’activités consiste à placer des événements certains et impossibles sur une échelle probabiliste enrichie petit à petit à partir des deux événements extrêmes impossible et certain, en utilisant des événements connus certains ou impossibles puis déjà travaillés — comme gagner aux jeux des sommes, des produits,…

Une « boite à évènements » a été ensuite ouverte tant les élèves voulaient proposer les leurs, et chaque événement devait être à un moment ou un autre placé sur l’échelle (puis coloré en fonction du code couleur).

Le second type d’activités consiste à amener les élèves à l’élaboration du tableau suivant :

Enfin, des questions flash régulières stabilisent le vocabulaire.

 

Le jeu du quinquenove

L’atelier s’est terminé par une présentation de la biographie de Leibniz, qui permet de comprendre l’intérêt de Leibniz à proposer des modifications de règles pour rendre les jeux équitables, comme celui du « quinquenove », jeu très célèbre à son époque.

 
Ce jeu se joue à deux dés et deux joueurs.
 
L’un des joueurs lance les dés, et gagne au premier tour s’il réalise un double ou un 3 ou un 11.
 
Mais s’il fait un 5 (lat. quinque) ou un 9 (lat. novem), c’est l’autre joueur qui gagne.
 
Dans tous les autres cas, le lanceur rejoue et perd dans les mêmes conditions, mais ne gagne que s’il réalise la même somme qu’au premier tour.
 

Les élèves de 5e sont prêts à étudier le premier tour du jeu de Quinquenove (non encore mis en place) et la solution fausse de Leibniz à cause d’une erreur classique de modélisation des lancers de plusieurs dés (confusion entre combinaison et permutation). Son raisonnement étant juste, la substitution du bon modèle conduit non seulement à une résolution correcte du problème mais également à une réflexion sur l’importance dans une démonstration et de la modélisation et du raisonnement.

 

Perspectives

Cette activité, peut être initiée dès le cycle 3, et peut être reprise tout le long du cycle 4, ainsi qu’au lycée, en particulier en seconde pour bien (re)démarrer les probabilités.

En classe de 2de, on peut reprendre ces activités en ajoutant les arbres pondérés, la programmation en python pour représenter les issues, et étudier tout ou une partie du texte de Leibniz, en français moderne si besoin.

Dès la classe de 1re, on peut travailler sur le déroulement entier du jeu, en interaction avec l’apprentissage des suites et calculer la probabilité que le jeu ne se termine jamais…

Asseoir le vocabulaire pour décrire les objets que l’on manipule, leurs propriétés, les relations qui les lient, les opérations que l’on peut pratiquer et les résultats qui en résultent, non seulement dans le cadre du cours de probabilité mais également dans les usages quotidiens et citoyens est la condition sine qua non d’un parcours réussi en probabilité tout au long des études.

Le jeu du quinquenove peut donner lieu à des scénarisations de différentes complexités au lycée et au premier cycle supérieur.

 

Appel à participation

Les collègues souhaitant participer à cette aventure en 5e ou dans toute autre classe, aussi bien autour du hasard que sur les jeux de dés et en particulier autour du quinquenove sont invités à prendre contact avec Fabienne Gléba ou Sylviane Schwer ou l’IREM Paris-Nord.

Nous visons la publication d’une brochure pour l’année 2020-21.

 

Références

Référence proposant une autre approche

 

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Les Chantiers de Pédagogie Mathématique n°183 décembre 2019
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS