Suite à la recension de l’ouvrage Un grain de riz sur un échiquier — les mathématiques c’est politique, nous avons demandé à son auteure Martine Quinio Benamo de nous proposer quelques idées d’exercices pour éclairer des notions de mathématiques qui interviennent dans l’actualité.

Dans les numéros précédents des Chantiers Martine Quinio Benamo nous avait proposé quelques idées d’exercices pour éclairer les notions suivantes, en lien avec des sujets d’actualité :

• la croissance exponentielle (numéro 204)
• les pourcentages et plus généralement les fractions (numéro 205)
• la moyenne (numéro 206)

Dans ce numéro des Chantiers, c’est au tour de la notion d’espérance de vie et des probabilités : comment ces notions sont-elles abordées dans les actualités ?

Les références indiquées, sauf mention contraire, concernent les pages de l’ouvrage de Martine Quinio Benamo : « Un grain de riz sur l’échiquier — les mathématiques c’est politique » aux éditions de l’Atelier (2023). Cet ouvrage est cité par « GR » ou « Grains Riz ». Autre ouvrage en référence : « Probabilités et statistique aujourd’hui », du même auteur, aux éditions l’Harmattan (2009).

L’espérance de vie

En probabilité, la notion d’espérance est essentielle ; dans la thématique précédente, nous avions abordé la notion de moyenne. L’espérance étant une moyenne, la transition entre les deux thématiques est toute trouvée !

Définition

En calculant la moyenne des âges de personnes décédées au cours d’une année $n$, on obtient l’espérance de vie pour des bébés naissant l’année $n+1$ : C’est donc une prévision de la durée de vie en fonction des durées passées.

C’est l’espérance de vie à la naissance, ce n’est pas l’espérance de vie à 60 ans, à 80 ans. Ce n’est pas non plus l’espérance de vie en bonne santé. D’autres définitions (Hommes/femmes ; cadres supérieurs/ouvriers ; etc.) sont donc à formuler pour nuancer la définition générale.

Exercice

« Les Français vivent de plus en plus longtemps. En constante progression, l’espérance de vie est la durée de vie moyenne théorique d’un nouveau-né relative aux conditions de mortalité de la période. »

source : Dorian Jullien, Le Monde 04/01/2023

 

Comment pourrait-on calculer les espérances de vie à 60 ans, à 80 ans ?

L’augmentation de l’espérance de vie a été mise en avant pour justifier l’augmentation des durées de cotisations et relever l’âge de la retraite : voici un document graphique qui illustre les différences d’espérances de vie.

Exercice

Quelle est l’espérance de vie à la naissance en 2021 pour une femme, pour un homme, en France métropolitaine ?

Cette progression générale cache toutefois des inégalités, non seulement entre les hommes et les femmes, mais aussi selon les catégories socioprofessionnelles (CSP). En témoigne, par exemple, l’espérance de vie des hommes aujourd’hui âgés de 35 ans, qui s’élève à 84 ans pour un cadre, soit 6,4 ans de plus que pour un ouvrier, d’après les conditions de mortalité entre 2009 et 2013. L’écart est encore plus important si l’on compare avec une femme cadre du même âge, qui peut espérer atteindre 88 ans en moyenne.

Voici un autre graphique pour visualiser l’écart d’espérance de vie entre un homme ouvrier et une femme cadre :

Espérance de vie en bonne santé

Vivre plus longtemps ne signifie pas forcément vivre mieux. Pour tenir compte de l’état de santé au moment de l’arrivée à la retraite, un autre indicateur existe : l’espérance de vie sans incapacité, aussi appelée espérance de vie en bonne santé. Elle consiste à mesurer la durée de vie moyenne d’une personne avant qu’elle soit touchée par des limitations dans les activités au quotidien.

Voici un graphique qui donne le niveau d’incapacité durant la première année de retraite en fonction de la catégorie socioprofessionnelle, en 2018.

Probabilités

NB : sur cette thématique, on trouvera un grand nombre d’exercices et leurs solutions dans l’ouvrage destiné aux élèves et étudiants : Probabilités et statistique aujourd’hui, nouvelle édition, L’Harmattan.

Travail sur la conception courante de « une chance sur deux »

Exercice

Quel modèle de probabilité permet de conclure lorsqu’il y a deux issues possibles que chacune a une chance sur deux de se produire ?

Pour ce travail, on pourra critiquer la phrase « Au basket, j’ai une chance sur deux de mettre le panier » (langage courant).

Autre phrase à critiquer, entendue à la sortie d’une mammographie par une patiente venant de passer son examen : « J’ai peur, quand on passe une mammo, on a une chance sur deux ».

Exercices tirés de GR

GR p.110 : « Une boîte contient 2 boules rouges et 8 boules noires. On prend une boule au hasard les yeux bandés. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge » ? La bonne réponse est-elle « 1 chance sur 2 » ou « 2 chances sur 10 » ?

 

GR p.113,114,115 : En admettant que la probabilité de la naissance d’une fille est $\frac{1}{2}$, une fois la première fille née, quelle est la probabilité d’avoir une deuxième fille ?

→ Avant toute naissance : « sur 2 naissances, quelle est la probabilité d’avoir 2 filles » ? Est-ce encore une chance sur deux ?

→ Pour 4 naissances, calculer les probabilités d’avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 filles sur 4 naissances ; montrer que la probabilité maximum est celle d’avoir 2 filles.

 

GR p.110 : « Une assemblée comporte six femmes et quatre hommes : en désignant les yeux bandés une personne au hasard, quelle est la probabilité de désigner une femme ? » Pour répondre à cette question, la plupart des personnes disent « 1 chance sur 6 » alors que la bonne réponse est « 6 chances sur 10 ».

Probabilité d’écrire un livre en tapant au hasard : par un singe, par une IA ?
Pour faire comprendre la notion d’événement impossible, qui, mathématiquement, ne signifie pas que cela n’arrive pas, je propose le travail suivant.

Exercice

1) Calculer la probabilité $p$ d’écrire « papa aime les bananes » en tapant chaque signe au hasard y compris les espaces, en supposant que l’on tape 21 fois et que l’on prend un signe parmi 27 signes (lettres et espace).

 

2) Calculer la probabilité de ne pas écrire la phrase « papa aime les bananes », probabilité notée $q$. Ordre de grandeur ?

 

3) Calculer la probabilité $P_n$ de ne pas écrire la phrase « papa aime les bananes » sur une répétition de $n$ essais et montrer que $P_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l’infini.

 

Remarque : On peut conclure (avec prudence) qu’il est très probable qu’une IA finisse par écrire cette phrase ou n’importe quel livre déjà écrit ; C’est le thème de la nouvelle de Borges, « La bibliothèque de Babel ».

Travail sur la formule de Bayes

Au cours de ma carrière, j’ai souvent remarqué que certains mots d’utilisation courante ne sont pas vraiment compris par les élèves (ni par des adultes une fois sortis de la scolarité d’ailleurs). La formule de Bayes est l’occasion de faire un travail sur le mot « parmi » : il s’agit de faire la distinction entre : « A parmi B » et « B parmi A » (références dans GR : pages 135, 136 et 137).

Exemples :

• A « avoir maladie méningite » ; B « avoir symptôme forts maux de tête »
• A « commettre un délit de petite criminalité » ; B « être un jeune issu de l’immigration »

Exercice

On donne les statistiques suivantes :

98 % des méningites donnent ces symptômes, et 0,01 % de ces cas cliniques avec ces symptômes sont des méningites, soit 1 pour 10 000.

 

Exprimer ces statistiques sous forme de probabilité.

Travail sur les sondages, intervalles de confiance

Documents à consulter dans l’ouvrage GR :

• Travail sur moyens d’information des jeunes (GR p.147)
• Travail sur le calcul de la marge d’erreur (GR p.152)
• Travail sur les élections américaines et différences entre les sondages selon les modes de scrutins (GR p.155)

Exercice

Si sur une ligne donnée, la fréquence de retard de TER estimée est de 250 sur 1000, donner une fourchette qui, à 95 %, contient la fréquence de retard de ces TER.

Travail sur les addictions aux jeux et paris

On pourra se référer à l’enquête sur l’addiction aux jeux d’argent et de hasard : une méta-analyse fournit des chiffres globaux sur la prévalence de ce trouble.

Extraits de cette grande enquête :

Globalement, 46,2 % (IC à 95 % : 41,7-50,8) des adultes et 17,9 % (14,8-21,2) des adolescents avaient joué à un jeu d’argent et de hasard au cours des 12 derniers mois.

Les taux de jeu étaient plus élevés chez les hommes (49,1 % ; 45,5-52,6) que chez les femmes (37,4 % ; 32,0-42,5).

Parmi les adultes, 8,7 % (6,6-11,3) ont été classés comme s’adonnant à un jeu à risque, et 1,41 % (1,06-1,84) comme s’adonnant à un jeu problématique. Chez les adultes, les taux de jeu problématique étaient les plus élevés dans les casinos en ligne ou les machines à sous (15,8 % ; 10,7-21,6). Peu de données ont été rapportées sur le jeu à risque et le jeu problématique dans les échantillons d’adolescents.

Corrélation ou cause ?

Ce thème sera traité dans le numéro suivant : cette notion est si importante afin de comprendre les débats d’actualité en matière de santé — lien entre tabac et cancers des bronches, entre diffusion de pesticides et maladies : comment met-on en évidence des corrélations ? Peut-on parler de cause ? Ou encore en matière d’environnement — corrélation entre émissions de $CO_2$ et réchauffement climatique : pour les scientifiques, ces débats n’ont plus lieu d’être car il y a consensus.

En guise de transition, voici un graphique qui mérite d’être attentivement interprété.

Les chantiers de pédagogie mathématique n°207 décembre 2025
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS