Introduire l’algèbre en 5e par la production d’une formule est une bonne idée et c’est d’ailleurs ce que propose une activité du manuel transmath [1] : réaliser un collier comportant des disques et des perles avec un certain nombre de perles par disque et des perles pour fermer le collier ; le nombre de disques étant variable, il s’agit de déterminer le nombre de perles nécessaires pour réaliser un collier. Après des calculs pour des cas particuliers, l’activité propose plusieurs formules : l’élève devant dire quelles sont les formules correctes.
Or, il me semble préférable de ne pas donner de formules et demander plutôt à l’élève d’en exprimer une. Ensuite, la mise en commun de la diversité des propositions des élèves permettra de se demander comment obtenir une formule la plus synthétique possible.
Partant de ce principe, j’ai transformé l’activité proposée pour laisser plus de liberté à l’élève. Vous trouverez en téléchargement l’énoncé que j’ai proposé aux élèves.
Les propositions des élèves
La première partie de l’exercice a permis aux élèves de comprendre comment calculer le nombre de perles lorsqu’il n’y a qu’un disque, puis deux disques, puis 4 disques et enfin 7 disques.
Certains élèves se sont d’ailleurs appuyés sur des dessins pour ces calculs :
Ensuite, les propositions d’une formule sont très diverses comme on peut le constater à la lecture de travaux des élèves :
« elle peut utiliser la multiplication »
« la formule que peut utiliser la créatrice est ( nombre de disque * 3 + 4= le nombre de perles) »
« il faudra 3 x d + 4 perles
d : nombre de perles »
« ex 7 × 3 + 4 = 25 »
« la créatrice peut utiliser un produit en croix plus les perles de fermetures
Si le nombre de disques change, alors je modifie mon produit en croix.
1 disque = 3 perles
2 disques = x perles
2x3/1 : 6
+ 4 perles pour la fermeture = 10 »
« n=nombre de disques
nombre de perles=n*3+4 »
« La formule qu’on peut utiliser est (D × PD) + PF
la lettre D signifie Disque, les lettres PD signifient Perle Disque et les lettres PF signifient Perle Fermoir j’ai choisi D,PD,PF pour que ce soit plus rapide »
« Cette créatrice peut utiliser la multiplication pour calculer le nombre de perles en fonction du nombre de disques. »
« La formule que peut utiliser la créatrice est "3×le disque+4"
c’est avec cette formule que j’ai calculé le nombre de perles. »
« Elle compte le nombre de disques et multiplie par le nombre de perles pour 1 disque »
« La formule que la créatrice peut utiliser est qu’elle peut faire 3× le nombre de disques plus 4 perles. Car sur chaque disque il y a 3 perles c’est pour ça 3 fois le nombre de disques ça donne le nombre de perles au total qu’il y a sur chaque disque et plus 4 perles car sur le fil il y a 4 perles.
ex : 3 ×$\overset{\large{7}}{…}$ = 21 + 4 = 25 »
L’écriture des expressions
En parcourant ces diverses expressions, on constate que certains élèves ont déjà une formulation qui correspond aux canons de l’algèbre. Ce qui peut être étonnant mais, somme toute, pas tant que cela, un élève un peu observateur n’aura pas trop de mal à utiliser des lettres pour désigner des variables : il y a du « déjà là » !
« J’ai remarqué que à chaque fois on ne changeait que le nombre de disques qu’on le multipliait par trois et qu’on rajoutait 4. Et j’avais déjà vu des formulations similaires dans des problèmes, on appelait n une quantité inconnue. »
« x représente une variable. J’ai choisi x car il est souvent employé comme valeur inconnue. »
D’autres expressions sont assez vagues mais quand on regarde les calculs effectués préliminairement (cas d’un disque, de deux disques…) ou pour le nombre de perles pour 15 disques, les choses sont très claires [2] :
« Il faut 45 perles pour réaliser 15 disques et 4 perles pour fermer le collier : Soit 15x3= 45+ 4 = 49 perles au total pour faire un collier de 15 disques. »
Lien avec les programmes de calculs
Lors de cet exercice, ce qui est à l’œuvre, c’est l’écriture d’un programme de calculs dont la formulation peut être souvent maladroite mais qui correspond à des calculs très précis lorsqu’ils sont réalisés pour un exemple particulier.
Permettre à l’élève de s’exercer à de telles formulations est une bonne voie d’approche pour rentrer dans le domaine de l’algèbre. Je ne regrette pas d’avoir détourné l’activité proposée initialement : cela a permis de mettre en lumière les idées des élèves [3].
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Les Chantiers de Pédagogie Mathématique n°185 juin 2020
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS
