Dans un article précédent, nous avions exploré amoureusement la géométrie du triangle. Je vous convie maintenant à entrer dans le pays des quadrilatères pour en (re)découvrir les richesses.
Presque tout ce que je vais vous raconter provient des sites et articles suivants :
En jouant avec Geogebra, on découvre des propriétés géométriques qu’il faudrait ensuite démontrer : avis aux amateurs :-)
Quadri-gone-latère-angle-point
Quatre côtés, ou quatre droites, ou quatre angles, mais toujours quatre sommets : entrons dans le pays merveilleux des quadrilatères ; et nous pouvons compléter la figure pour obtenir un quadrilatère complet !
Figure 1
4 côtés
Figure 2
4 droites
Figure 3
4 angles
Figure 4
6 sommets, 3 diagonales
complet !
Lors d’une escapade au pays des quadrilatères, il suffit de quelques constructions simples pour faire apparaître des points, des droites, des cercles, des coniques… donc 9 points et 3 diagonales : 4 sommets et 2 autres en prolongeant les côtés puis 1 point avec l’intersection des diagonales principales et 2 points avec les autres diagonales.
Et, déjà, les milieux $M_{AC}$, $M_{BD}$ et $M_{EF}$ des diagonales se font remarquer !
Figure 5
les milieux des diagonales sont colinéaires
Centre de gravité ou barycentre (pour être plus grec)
On peut s’intéresser aux 4 sommets, aux 4 côtés (quadrilatère « fil de fer ») ou à la « plaque ».
Rappel pour le triangle :
- l’isobarycentre de ${A, B, C}$ est $G$ (intersection des médianes), $X(2)$ pour ceux qui ont exploré l’ETC (voir mon article précédent)
- le barycentre de ${AB, BC, AC}$ est $Sp = X(10)$, le point de Spieker, centre du cercle inscrit dans le triangle médian dont les sommets sont les milieux des côtés
- le barycentre de la plaque triangulaire est également $G$, l’isobarycentre ; ce qu’on peut démontrer avec un peu d’intégration
Pour le quadrilatère on trouve 3 points différents : le vertex-barycentre, le sides-barycentre et le solid-barycentre.
Pour ce qui suit, rappelons que les médianes d’un quadrilatère sont les droites qui passent par les milieux de 2 côtés opposés.
L’isobarycentre des 4 sommets ${A, B, C, D}$
L’isobarycentre de ${A, B, C, D}$ est $G$, l’intersection des médianes. $G$ est aussi sur la droite des milieux des diagonales. On obtient le vertex-barycentre (vertex (en) = sommet (fr)). Ce point se nomme également $QA-P1$ : voir la page de l’EPG.
Figure 6
le barycentre des sommets
Le barycentre du quadrilatère « fil de fer », barycentre de ${AB, BC, CD, AC}$
Le barycentre de chaque côté est son milieu. On partage le quadrilatère en 2 triangles $ABC$ et $ADC$. Soit $M_{AB}$ et $M_{BC}$ les milieux de $AB$ et $BC$, le barycentre de ${AB, BC}$ est sur la droite $M_{AB}M_{BC}$. La B-bissectrice coupe $M_{AB}M_{BC}$ en $I_B$ qui vérifie : $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{I_BM_{AB}}{I_BM_{AC}}$.
Soit $M’_B$ le milieu de $M_{AB}M_{BC}$ et $I’_B$ le symétrique de $I_B$ par rapport à $M’_B$ : $I’_B$ est le barycentre de ${AB, BC}$. On construit de même $I’_D$, puis $I’_A$ et $I’_C$. Le barycentre des quatre côtés est l’intersection des droites $I’_BI’_D$ et $I’_AI’_C$ : c’est le sides-barycentre (side (en) = côté (fr)).
Figure 7
le barycentre des côtés $M_{AB}M_{BC}M_{CD}M_{AD}$ est un parallélogramme, ses côtés sont parallèles aux diagonales
Le barycentre de la plaque : le solid-barycentre
Comme précédemment, on partage le quadrilatère en 2 triangles, $ABC$ (de barycentre $G_D)$ et $ADC$ (de barycentre $G_B$). Les aires de $ABC$ et $ADC$ sont proportionnelles aux hauteurs $h_B$ et $h_C$ respectivement, donc le solid-barycentre partage $G_DG_B$ dans le rapport $(h_B, h_D)$, d’où la construction du barycentre de la plaque.
Figure 8
le barycentre de la plaque
Droite de Steiner d’un quadrilatère
Maintenant, jouons un peu avec les orthocentres et les cercles circonscrits.
Avec des triangles déterminés par les 4 côtés prolongés, les orthocentres de $ABF$, $CDF$, $ADE$ et $BCE$ sont $H_{AB}$, $H_{CD}$, $H_{AD}$ et $H_{BC}$ qui sont 4 points alignés : ils déterminent la droite de Steiner.
Figure 9
la droite de Steiner
Avec des triangles déterminés par les diagonales principales, les orthocentres de $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ sont $H_A$, $H_B$, $H_C$, $H_D$.
Les droites $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$ et $DH_D$ sont concourantes en $K$ : on dit alors que $ABCD$ et $H_AH_BH_CH_D$ sont en $K$-perspective.
Figure 10
Remarque : la droite de Steiner est aussi l’axe radical des cercles qui ont pour diamètres les 3 diagonales.
Figure 11
Cercle de Miquel
Les cercles circonscrits aux triangles $ABF$, $ADE$, $BCE$, $CDF$ [1] ont pour centres : $O_{ABF}$, $O_{ADE}$, $O_{BCE}$, $O_{CDF}$ ; ils sont cocycliques sur le cercle de Miquel.
Ces cinq cercles ont une intersection commune : $QL-P1$, appelé Point de Miquel ou de Clifford.
Figure 12
Remarque : le point de Miquel va intervenir plus loin dans la construction d’une parabole inscrite dans le quadrilatère complet.
Centre de Clawson
Soit $O_{AB}$ le centre du cercle circonscrit à $ABF$ et de même $O_{DC}$, $O_{BC}$, $O_{AD}$.
Soit $H_{AB}$ l’orthocentre de $O_{DC}O_{BC}O_{AD}$ et de même $H_{DC}$, $H_{BC}$, $H_{AD}$. Ces quatre orthocentres sont sur les côtés du quadrilatère $ABCD$.
Les droites $O_{AB}H_{AB}$, $O_{DC}H_{DC}$, $O_{BC}H_{BC}$, $O_{AD}H_{AD}$ sont concourantes en un point : le centre de Clawson.
Figure 13
Et pour les coniques ?
Par exemple une parabole… Construisons la parabole quadri-tangente ou inscrite au quadrilatère complet $ABCD$ : son foyer est $F$, le point de Miquel.
Soient $F_{AB}$, $F_{BC}$, $F_{AC}$, $F_{AD}$, les symétriques de $F$ par rapport aux côtés du quadrilatère $ABCD$ : ils sont alignés et déterminent la directrice de la parabole, directrice qui est la droite de Steiner.
Avec Geogebra, foyer et directrice suffisent pour tracer la parabole. Les points de tangence sont les intersections des perpendiculaires à la directrice menées par les symétriques du foyer avec les côtés de $ABCD$.
Figure 14
La conique des 9 points
Soient les côtés du quadrilatère $ABCD$, les diagonales principales ($AC$, $BD$), l’intersection $S$ de ces diagonales, et leurs milieux ($AB$ : $M_{AB}$), ($AC$ : $M_{AC}$), etc.
Une conique passe par les 9 points $M_{AB}$, $M_{BC}$, $M_{CD}$, $M_{AD}$ , $M_{BD}$, $M_{AC}$, $S$, $E$ et $F$ ; le centre de cette conique est le vertex-barycentre, nommé $QA-P1$, le barycentre des 4 sommets (voir ci-dessus).
Figure 15
Le point d’Euler-Poncelet
Rappel pour le cercle podaire (fr), pedal (en) d’un triangle $ABC$ : soient $R_A$, $R_B$, $R_C$, les projections orthogonales de $R$ sur les côtés (droites) $BC$, $AC$, $AB$, Le cercle circonscrit à $R_AR_BR_C$ est le cercle podaire de $R$. Ce cercle, de centre $O$, recoupe les 3 côtés en $R’_A$, $R’_B$, $R’_C$, qui déterminent un point appelé conjugué isogonal de $R$, isogonal conjugate (en).
Figure 16
$O$ est le milieu du segment qui joint $R$ et son conjugué isogonal
Maintenant, fort de ce rappel, nous pouvons aborder $QA-P2$, le point d’Euler-Poncelet.
Les cercles podaires de $A$ par rapport à $BCD$, de $B$ par rapport à $ACD$, de $C$ par rapport à $BAD$, et de $D$ par rapport à $BCA$, sont concourants en $QA-P2$.
Figure 17
Les cercles des 9 points de $ABC$, $BCD$, $CDA$ et $DAC$ sont concourants en $QA-P2$.
Figure 18
Pour terminer, une hyperbole équilatère
Figure 19
$A’$, $B’$, $C’$, $D’$, sont les symétriques de $A$, $B$, $C$, $D$, par rapport à $QA-P2$ $QA-P2$ est le centre de l’hyperbole équilatère circonscrite à $ABCD$
Il est temps de nous quitter mais ne soyez pas tristes, $QA-P2$ a encore d’autres qualités que je vous invite à découvrir ; par exemple, il est sur le cercle circonscrit au triangle diagonal $EFS$. Il est également sur la conique des 9 points.
La géométrie des triangles et des quadrilatères, c’est un plaisir que Geogebra nous aide à renouveler !
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Les chantiers de pédagogie mathématique n°209 juin 2026
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