Réponse à la Question n°8

6 réponses ! : Le succès… mais c’était facile et pour le 1^er de l’an on prend toujours des bonnes résolutions.

Et en plus les méthodes proposées sont différentes.

• La méthode la plus basique (utilisée par Francis Slawny et moi-même) :
  Soit un triangle de côté $a$, $b$ et $c$ vérifiant $a^2+b^2 = c^2$ et $ab = 2(a+b+c)$.
  En éliminant $c$ entre ces 2 égalités on obtient :
  $(4c² = ) a^2b^2+4a^2+4b^2-4a^2b-4ab^2+8ab = 4a^2+4b^2$
  D’où $ab(ab-4a-4b+8) = 0$ et comme $ab$ non nul il reste : $a(b-4) = 4b-8$
  d’où $a = \dfrac{4b-8}{b-4} = 4 + \dfrac{8}{b-4}$
  $a$ ne peut être entier positif que si $b-4$ divise 8 ce qui est obtenu pour $b=5$, $b=6$, $b=8$ ou $b=12$ ce qui donne respectivement $a=12$, $a= 8$, $a= 6$ ou $a=5$ mais dont il ne reste finalement (en intervertissant le rôle de $a$ et $b$) que 2 solutions :(5, 12, 13) ou (6, 8, 10).

• Un peu plus élaborée : l’utilisation des triplets pythagoriciens par Émile Sinturel, Jean Couzineau, Kristel Gabarra-Lazorthe et Daniel Djament (avec pour certains une petite confusion entre triplets pythagoriciens « primitifs » $(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ et tous les triplets pythagoriciens qui sont des multiples des « primitifs » ce qui est d’ailleurs ici sans conséquences). Voici donc la solution efficace de Daniel Djament :
  Si $a$, $b$, $c$ sont les mesures des côtés, il existe des entiers, $k$, $m$ et $n$ tels que $a=k(m^2-n^2)$, $b=2kmn$ et $c= k(m^2+n^2)$
  $a+b+c=\dfrac{ab}{2}$ équivaut à $2k(m^2+mn)=mnk^2(m^2-n^2)$
  soit $2=kn(m-n)$ qui n’est possible avec des entiers naturels que si ($k=n=1$ et $m=3$),
  ($k=m=2$ et $n=1$) ou ($k=1$, $n=2$ et $m=3$).
  Les deux premiers cas donnent le triangle (6, 8, 10) et le troisième le triangle (5, 12 ,13) qui répondent à la question car 6+8+10=6x8/2=24 et 5+12+13=5x12/2=30.

• Et plus originale enfin la solution d’Hélène Brion :
  Concernant la question 8, le problème est très simple si on se souvient de la relation liant dans un triangle l’aire$\mathscr{A}$, le périmètre $\mathscr{P}$ et le rayon $r$ du cercle inscrit : $2\mathscr{A}=\mathscr{P}r$
  Pour que $\mathscr{A}=\mathscr{P}$ il faut et suffit que rayon du cercle inscrit soit 2. Ce qui limite de manière drastique le problème. Un petit coup de GeoGebra : un cercle de rayon 2 tangent aux deux axes du repère, un point $A$ d’abscisse entière, on trace la tangente au cercle passant par $A$ qui rencontre l’axe des ordonnées en $B$. Par symétrie on peut ne traiter que les cas où $OA \lt OB$. Il faut prendre $x_A$ supérieur à 4, on essaie 5 et on obtient le triangle rectangle 5, 12, 13, on essaie 6 et on obtient le triangle rectangle 6, 8, 10, si $x_A$ est supérieur ou égal à 7, $OB \lt OA$. Il n’y a donc que 2 triangles à côtés entiers dont l’aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre.
  Remarque : les triangles trouvés par GeoGebra ne sont pas des approximations. Pour s’en convaincre sans calcul lourd, il suffit d’utiliser une propriété du triangle rectangle $c=a+b-2r.$ Les deux triangles donnés sont bien rectangles (Pythagore) et $a+b-c$ vaut bien 4.

Vous pouvez essayer la manipulation GeoGebresque sur la figure ci-dessous (en déplaçant le point A) :

• Enfin Émile Sinturel (en 2^e version) nous propose une autre solution vraiment très originale :
  Les unités de mesure d’aire et de longueur n’étant pas précisées, on doit pouvoir choisir ces unités l’une indépendamment de l’autre.
  Fixons une unité de longueur notée $U_l$ et prenons un triangle rectangle à côtés de longueurs entières notées $m$, $n$ et $\sqrt{m^2 + n^2}$ dans cette unité $U_l$.
  Son périmètre mesure alors $ \mathscr{P} =(m + n + \sqrt{m^2 + n^2})\,U_l$.
  Prenons come unité d’aire l’unité suivante : $ 1\,U_a = \dfrac{mn}{2\mathscr{P}} U_l^2$
  L’aire de notre triangle mesure alors $ \mathscr{A} = \dfrac{mn}{2} U_a$
  Conclusion : pour tout triangle rectangle à côtés entiers, il existe une unité d’aire telle que l’aire (dans cette unité) et le périmètre soient mesurés par le même nombre.
   
  Qu’en pensez-vous ? Peut-on choisir les unités de longueur et d’aire indépendamment l’une de l’autre ? Est-ce bien raisonnable ?

Une question n°8bis

En fait j’avais eu l’intention de poser en question 8 :

…mais l’utilisation de l’adverbe beaucoup l’excluant des OUI ou NON pour le ranger dans la catégorie des « indécidables » j’y ai renoncé, ce qui toutefois ne doit pas vous empêcher d’essayer de le résoudre.

Question n°9

Et pour la prochaine fois…