Oui ou Non
Article mis en ligne le 24 mars 2014
dernière modification le 10 juillet 2017

par Alain Bougeard
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Réponse à la Question n°8

Question n°8 (n°159 de décembre 2013) :

Existe-t-il des triangles rectangles à côtés entiers dont l’aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre…

6 réponses ! : Le succès… mais c’était facile et pour le 1er de l’an on prend toujours des bonnes résolutions.

Et en plus les méthodes proposées sont différentes.

  • La méthode la plus basique (utilisée par Francis Slawny et moi-même) :
    Soit un triangle de côté $$$a$$$, $$$b$$$ et $$$c$$$ vérifiant $$$a^2+b^2 = c^2$$$ et $$$ab = 2(a+b+c)$$$.
    En éliminant $$$c$$$ entre ces 2 égalités on obtient :
    $$$(4c² = ) a^2b^2+4a^2+4b^2-4a^2b-4ab^2+8ab = 4a^2+4b^2$$$
    D’où $$$ab(ab-4a-4b+8) = 0$$$ et comme $$$ab$$$ non nul il reste : $$$a(b-4) = 4b-8$$$
    d’où $$$a = \dfrac{4b-8}{b-4} = 4 + \dfrac{8}{b-4}$$$
    $$$a$$$ ne peut être entier positif que si $$$b-4$$$ divise 8 ce qui est obtenu pour $$$b=5$$$, $$$b=6$$$, $$$b=8$$$ ou $$$b=12$$$ ce qui donne respectivement $$$a=12$$$, $$$a= 8$$$, $$$a= 6$$$ ou $$$a=5$$$ mais dont il ne reste finalement (en intervertissant le rôle de $$$a$$$ et $$$b$$$) que 2 solutions :(5, 12, 13) ou (6, 8, 10).
  • Un peu plus élaborée : l’utilisation des triplets pythagoriciens par Émile Sinturel, Jean Couzineau, Kristel Gabarra-Lazorthe et Daniel Djament (avec pour certains une petite confusion entre triplets pythagoriciens « primitifs » $$$(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$$$ et tous les triplets pythagoriciens qui sont des multiples des « primitifs » ce qui est d’ailleurs ici sans conséquences). Voici donc la solution efficace de Daniel Djament :
    Si $$$a$$$, $$$b$$$, $$$c$$$ sont les mesures des côtés, il existe des entiers, $$$k$$$, $$$m$$$ et $$$n$$$ tels que $$$a=k(m^2-n^2)$$$, $$$b=2kmn$$$ et $$$c= k(m^2+n^2)$$$
    $$$a+b+c=\dfrac{ab}{2}$$$ équivaut à $$$2k(m^2+mn)=mnk^2(m^2-n^2)$$$
    soit $$$2=kn(m-n)$$$ qui n’est possible avec des entiers naturels que si ($$$k=n=1$$$ et $$$m=3$$$),
    ($$$k=m=2$$$ et $$$n=1$$$) ou ($$$k=1$$$, $$$n=2$$$ et $$$m=3$$$).
    Les deux premiers cas donnent le triangle (6, 8, 10) et le troisième le triangle (5, 12 ,13) qui répondent à la question car 6+8+10=6x8/2=24 et 5+12+13=5x12/2=30.
  • Et plus originale enfin la solution d’Hélène Brion :
    Concernant la question 8, le problème est très simple si on se souvient de la relation liant dans un triangle l’aire$$$\mathscr{A}$$$, le périmètre $$$\mathscr{P}$$$ et le rayon $$$r$$$ du cercle inscrit : $$$2\mathscr{A}=\mathscr{P}r$$$
    Pour que $$$\mathscr{A}=\mathscr{P}$$$ il faut et suffit que rayon du cercle inscrit soit 2. Ce qui limite de manière drastique le problème. Un petit coup de GeoGebra : un cercle de rayon 2 tangent aux deux axes du repère, un point $$$A$$$ d’abscisse entière, on trace la tangente au cercle passant par $$$A$$$ qui rencontre l’axe des ordonnées en $$$B$$$. Par symétrie on peut ne traiter que les cas où $$$OA \lt OB$$$. Il faut prendre $$$x_A$$$ supérieur à 4, on essaie 5 et on obtient le triangle rectangle 5, 12, 13, on essaie 6 et on obtient le triangle rectangle 6, 8, 10, si $$$x_A$$$ est supérieur ou égal à 7, $$$OB \lt OA$$$. Il n’y a donc que 2 triangles à côtés entiers dont l’aire et le périmètre sont mesurés par le même nombre.
    Remarque : les triangles trouvés par GeoGebra ne sont pas des approximations. Pour s’en convaincre sans calcul lourd, il suffit d’utiliser une propriété du triangle rectangle $$$c=a+b-2r.$$$ Les deux triangles donnés sont bien rectangles (Pythagore) et $$$a+b-c$$$ vaut bien 4.

Vous pouvez essayer la manipulation GeoGebresque sur la figure ci-dessous (en déplaçant le point A) :

  • Enfin Émile Sinturel (en 2e version) nous propose une autre solution vraiment très originale :
    Les unités de mesure d’aire et de longueur n’étant pas précisées, on doit pouvoir choisir ces unités l’une indépendamment de l’autre.
    Fixons une unité de longueur notée $$$U_l$$$ et prenons un triangle rectangle à côtés de longueurs entières notées $$$m$$$, $$$n$$$ et $$$\sqrt{m^2 + n^2}$$$ dans cette unité $$$U_l$$$.
    Son périmètre mesure alors $$$ \mathscr{P} =(m + n + \sqrt{m^2 + n^2})\,U_l$$$.
    Prenons come unité d’aire l’unité suivante : $$$ 1\,U_a = \dfrac{mn}{2\mathscr{P}} U_l^2$$$
    L’aire de notre triangle mesure alors $$$ \mathscr{A} = \dfrac{mn}{2} U_a$$$
    Conclusion : pour tout triangle rectangle à côtés entiers, il existe une unité d’aire telle que l’aire (dans cette unité) et le périmètre soient mesurés par le même nombre.
     
    Qu’en pensez-vous ? Peut-on choisir les unités de longueur et d’aire indépendamment l’une de l’autre ? Est-ce bien raisonnable ?

Une question n°8bis

En fait j’avais eu l’intention de poser en question 8 :

QUESTION n° 8 bis

« Existe-il beaucoup de pavés à arêtes entières dont l’aire et le volume soient mesurés par le même nombre »

…mais l’utilisation de l’adverbe beaucoup l’excluant des OUI ou NON pour le ranger dans la catégorie des « indécidables » j’y ai renoncé, ce qui toutefois ne doit pas vous empêcher d’essayer de le résoudre.

Question n°9

Et pour la prochaine fois…

Question n°9

Peut-on calculer l’intégrale $$$I_n$$$ sans calcul intégral ?

$$$I_n = \displaystyle \int\limits_{x=1}^{n} \mid{x-1}\mid + \mid{x-2}\mid + \, \cdots \, + \mid{x-n}\mid dx = \int\limits_{x=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \mid{x-k}\mid dx$$$


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Les chantiers de pédagogie mathématique n°160 mars 2014
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS


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