Vous avez dit bizarre… comme c’est bizarre…
Article mis en ligne le 22 septembre 2014
dernière modification le 7 juillet 2017

par Rémy Coste
logo imprimer

Un petit grain de sable pour une grande catastrophe

Comme on l’a déjà vu dans un précédent article, les suites récurrentes sont le terreau classique pour produire des bizarreries avec des calculateurs numériques.

Voici un exemple, décliné sous la forme d’un exercice du niveau de terminale S. Son originalité est que des définitions équivalentes de la même suite ne donnent pas les mêmes valeurs avec un tableur (ou une calculatrice). L’explication de cette surprenante bizarrerie donne ainsi un support motivant pour faire des mathématiques. Les connaissances mobilisées sont du niveau d’un lycéen scientifique, mais la démarche inhabituelle lui donnera un petit aperçu de ce qui l’attend après le bac.

N.B. La démonstration par récurrence est une récurrence forte. C’est une occasion d’en parler aux élèves bien que cela ne soit pas un objectif du programme.

Soit la suite $$$(u_n)$$$ définie par $$$\begin{cases} u_0 = 1, u_1 = k \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$$$ avec $$$k = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$$$

  1. Démontrer que $$$k^2 = k + 1$$$, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier $$$n$$$, $$$u_n = k^n$$$.
    De quelle nature est la suite $$$(u_n)$$$ ? Quelle est sa limite ?
  2. La suite $$$(u_n)$$$ peut donc se définir de 2 manières différentes :
    1e manière : $$$\begin{cases} u_0 = 1, u_1 = k \\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \end{cases}$$$ 2e manière : $$$\begin{cases} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = k \times u_n \end{cases}$$$
    À l’aide d’un tableur, générer les 100 premières valeurs de la suite en utilisant la 1re définition, puis générer à nouveau les 100 premières valeurs de la suite mais en utilisant la 2e définition.
    Comparer termes à termes les 2 suites obtenues. Qu’observe-t-on ?
  3. Explication : On pose $$$k' = k + \varepsilon$$$
    a) Soit la suite $$$(v_n)$$$ définie par $$$\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = k' \times v_n \end{cases}$$$
    Pour quelles valeurs de $$$\varepsilon$$$ la suite $$$(v_n)$$$ est-elle convergente ?
    b) Soit la suite $$$(w_n)$$$ définie par : $$$\begin{cases} w_0 = 1, w_1 = k' \\ w_{n+2} = w_{n+1} + w_n \end{cases}$$$
    Démontrer que, pour tout $$$n$$$ entier : $$$w_n = \left( 1 - \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{5}} \right) \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) ^n + \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{5}}\left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) ^n$$$
    En déduire que la suite $$$(w_n)$$$ est convergente lorsque $$$\varepsilon = 0$$$, mais divergente dès que $$$\varepsilon \neq 0$$$.
    c) Donner une explication au phénomène observé à la 2e question.

article suivant

retour au sommaire

Les chantiers de pédagogie mathématique n°162 septembre 2014
La Régionale Île-de-France APMEP, 26 rue Duméril, 75013 PARIS




Actus

La nuit des maths

Du 27 juin au 30 juin 2018 aura lieu le festival « La nuit des maths » entre (...)

Rapport pour le lycée professionnel

Le ministre de l’éducation a confié une mission sur l’avenir de la voie (...)

La diffusion des mathématiques avec le CNRS

Le CNRS et l’EHESS ont sorti à l’occasion de la semaine des maths une vidéo (...)

7e colloque WIMS à Orsay

Le septième colloque WIMS (plateforme proposant de nombreuses ressources (...)

La mission Villani-Torossian

L’APMEP avait mis à disposition de tous une note de synthèse présentée à la (...)

Rapport Mathiot

Le rapport Mathiot a été remis : vous trouverez sur le site national les (...)

Le salon culture et jeux mathématiques

Chaque année se tient à Paris, place St-Sulpice, le salon culture et jeux (...)

Le Petit Vert de Lorraine

Le Petit Vert est le bulletin de la Régionale Apmep de Lorraine, Régionale (...)

Brochure Jeux de l’Apmep

Une nouvelle brochure, en co-édition avec les Éditions du Kangourou, du (...)

Subvention de la Fondation Jacques Hadamard

La Fondation mathématiques Jacques Hadamard, dans le cadre de sa (...)

Évènements à venir

0 | 5


25
mai
2018

06
juin
2018
horaire 14H00 - 17H00

11
juin
2018
horaire du lundi 11 juin 2018
au mercredi 13 juin 2018

14
juin
2018
horaire du jeudi 14 juin 2018
au vendredi 15 juin 2018

Dans la même rubrique

Édito
le 22 septembre 2014
Sommaire
le 22 septembre 2014
Prenez le TRAAM…
le 22 septembre 2014
Au collège : socle et programmes
le 22 septembre 2014
Concours 2014 de la Régionale
le 22 septembre 2014
par Claudie Missenard
OUI-NON
le 22 septembre 2014
par Alain Bougeard
Rapport moral 2013-2014
le 22 septembre 2014
par Mélusine Kummer
Rapport financier 2013-2014
le 22 septembre 2014
par Françoise Magna

Twitter APMEP IdF

pucePlan du site puceContact puceMentions légales puceEspace rédacteurs pucesquelette puce RSS

2013-2018 © APMEP Île-de-France - Tous droits réservés
Site réalisé sous SPIP
avec le squelette ESCAL 4.0.86