Le trou du cube
Article mis en ligne le 22 décembre 2014
dernière modification le 10 juillet 2017

par Alain Bougeard
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J’avais posé dans le n° 161 un vieil exercice, trouvé je ne sais où, dont l’énoncé était le suivant :

Quel est le volume exact du trou obtenu en traversant un cube d’arête 3 cm à l’aide d’une mèche de diamètre 1 cm, perpendiculairement aux faces, en leur centre ?

N’ayant pas reçu de réponse à ce problème je finissais par douter de son intérêt lorsque, à la suite d’une Rencontre de la Régionale avec les animateurs de l’IREM de Paris-Nord venus présenter leur riche logiciel Géotortue, il s’en est suivi un dialogue graphique et mathématique avec Erwan Adam qui a relancé l’intérêt du problème.

Intérêt sur le plan mathématique d’abord (j’avais calculé laborieusement le plein, il a réussi à calculer beaucoup plus élégamment le vide) mais aussi sur le plan graphique par une compétition entre deux logiciels de géométrie dans l’espace (pour lui Géotortue, pour moi GeoGebra version 5) qui a permis d’améliorer la vision et donc la compréhension d’une situation pas immédiatement simple…

1re PARTIE : CALCUL DU PLEIN…

Pour simplifier l’écriture des calculs nous prendrons 6 pour l’arête du cube et 2 pour le diamètre de la mèche (ce qui revient à multiplier les volumes par 8).

Il n’est pas difficile de voir, même sans représentation graphique, que si l’on subdivise le cube en 27 cubes de côté 2, on obtiendra 20 cubes pleins, 6 cubes percés d’un trou cylindrique de volume $$$\pi \times 1^2 \times 2 = 2\pi$$$ et un cube central dont le calcul du volume $$$V$$$ du trou va être véritablement l’objet du problème.

Une représentation graphique à l’ancienne, tout à la main, permet de commencer à réaliser ce qui se passe…

Du cube central, traversé par 3 cylindres orthogonaux, de diamètre égal à l’arête du cube, il ne subsiste plus que 8 "coins" ayant la forme ci-dessous.

Chaque "coin" est constitué de 3 "pyramides" identiques à $$$ABCDI$$$ et du petit cube $$$ABCDEFGH$$$…

Dans le repère orthonormé $$$(H, \overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ}, \overrightarrow{HI})$$$, nous allons cherché les coordonnées du point $$$B$$$, ce qui nous permettra de calculer le volume du cube puis des "pyramides".

Le point $$$B$$$ est à l’intersection des 3 cylindres donc ses coordonnées sont les solutions positives et inférieures à 1 du système :

$$$ \left\{ \begin{array}{rcr} (x-1)^2 + (y-1)^2 & = & 1 \\ (y-1)^2 + (z-1)^2 & = & 1 \\ (z-1)^2 + (x-1)^2 & = & 1 \end{array} \right.$$$

Système facile à résoudre en additionnant les 3 équations et en soustrayant ensuite chacune d’entre elles, ce qui nous permet de trouver :

$$$ (x - 1)^2 = (y - 1)^2 = (z – 1)^2 = \dfrac{1}{2}$$$

d’où nous tirons $$$x = y = z = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$$ .

Donc le volume du cube $$$ABCDEFGH$$$ vaut $$$V_C = (1 – \dfrac{1}{\sqrt{2}})^3$$$

Pour le volume de la pyramide $$$ABCDI$$$, son intersection avec le plan $$$z = l$$$ est le carré $$$A'B'C'D'$$$. Pour avoir les coordonnées du point $$$B'$$$ il faut résoudre le système :

$$$ \left\{ \begin{array}{rcr} (x-1)^2 + (z-1)^2 & = & 1 \\ (y-1)^2 + (z-1)^2 & = & 1 \\ z & = & \lambda \end{array} \right.$$$

dont la résolution facile fournit $$$ x = y = 1 - \sqrt{2\lambda - \lambda^2}$$$

L’aire du carré $$$ABCD'$$$ est donc $$$ ( 1 - \sqrt{2\lambda - \lambda^2})^2$$$

d’où le volume de la pyramide :
$$$V_P = \displaystyle \int_{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} ( 1 - \sqrt{2\lambda - \lambda^2})^2 d\lambda = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(\alpha))^2\cos(\alpha)d\alpha$$$
par le changement de variable $$$\lambda = 1 - \sin(\alpha)$$$
$$$V_P = \sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\sqrt{2}$$$ après un calcul d’intégrale sans difficulté.
Donc le volume du "coin" est $$$V_{coin} = V_C + 3V_P = 1 + \sqrt{2} - \dfrac{3\pi}{4}$$$
Et nous pouvons calculer le volume du trou : $$$V_t = V + 6\times 2\pi = (8 - 8V_{coin}) + 12\pi = 18\pi - 8\sqrt{2}$$$

Pour retrouver les résultats correspondants aux données de l’énoncé il suffit de diviser par 8 et nous avons donc :

$$$V_{trouducube} = \dfrac{9\pi}{4} - \sqrt{2}$$$

Les promoteurs de Géotortue (dont le principal concepteur Salvatore Tummarello) nous ayant présenté le logiciel multitortue capable de faire évoluer pleins de tortues dans l’espace (et même pire puisqu’ils peuvent les envoyer dans des espaces non euclidiens…) j’ai donc lancé à Erwan le défi de représenter le trou du cube, défi qui n’a pas tardé à être relevé y compris sous forme vidéo (puisque GéoTortue permet aussi cela) :

Il y a même ajouté, pour faire bonne mesure, la vidéo du "coin" qui s’éclate… en 3 "pyramides" et un cube :

Puis le temps a passé jusqu’à la publication dans les Chantiers 161 de cette question avec le succès que l’on sait.

Et puis trois mois après, je reçois un mél d’Erwan me demandant s’il n’y aurait pas comme un rapport entre la question posée et ses travaux précédents… Je confirme en précisant toutefois qu’il ne s’agit plus de dessiner le trou mais de calculer son volume !

Et là…

Je reçois peu de temps après une page contenant 2 dessins, 3 lignes de calcul et 5 lignes "d’explications" se terminant par la formule attendue (généralisée bien sûr à un cube d’arête $$$a$$$ et un trou de rayon $$$R$$$).

Il avait réussi à calculer le volume du vide !

J’ai mis un certain temps à vraiment comprendre tant les figures que les calculs et je peux vous dire que les échanges de visualisation ont été d’une très grande utilité.

Mais vous-mêmes amis lecteurs, avant que je vous conte cela dans la prochaine livraison des Chantiers, vous avez trois mois pour calculer le volume du vide… directement.

Bien sûr vous pouvez vous faire aider par GéoTortue nouvelle version ou GeoGebra version 5.

Mais sachez qu’Erwan n’en a pas eu besoin (sauf pour m’aider à comprendre).

La suite au prochain numéro…



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Les chantiers de pédagogie mathématique n°163 décembre 2014
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