La rencontre avec le hasard

La Régionale était heureuse de retrouver ses sympathisants pour la rencontre de la Régionale, qui, à l’occasion de l’exposition « Faites vos jeux » s’est déroulée au Palais de la Découverte.

Le Palais nous a accueillis deux mercredis après-midi pour des exposés sur le thème du hasard et des probabilités en lien avec l’exposition en cours.

« Faites vos jeux » est organisée en cinq pôles : les probabilités, la loi des grands nombres, le dénombrement, les statistiques, le hasard, curiosités et la théorie du chaos. Lors de la rencontre de 29 mars, Arnaud Inhe, médiateur scientifique du Palais, nous a exposé les développements proposés aux classes.

L’entrée choisie dans le domaine des probabilités pour l’exposition est celle de l’expérience et de la manipulation, celles-ci permettent une approche ludique et accessible pour tous les élèves.

De fait, pour démarrer, nous avons joué aux dés. Nos deux joueurs, l’un avec deux dés de Sicherman (voir illustration) et l’autre avec deux dés classiques, ont fait une bataille.

Le joueur ayant la meilleure somme avec ses deux dés marquait un point. Peut-on prévoir lequel des deux joueurs sera le premier à 5 points ? En d’autres termes, ce jeu est-il équitable ?

En construisant le tableau des possibles, à savoir les sommes obtenues pour chacune des paires de dés, nous nous convainquons que les probabilités d’obtenir chacune des sommes sont identiques pour les deux dés. Ce travail est tout à fait faisable avec des élèves de collège et constitue un premier aperçu du calcul des probabilités.

Si l’on veut aller plus loin, on peut se demander s’il existe d’autres dés ayant cette propriété. Eh non, ce sont les seuls ! La preuve nous en est donnée avec les polynômes générateurs de la variable aléatoire « somme des points obtenus sur deux dés » (à lire en complément, en téléchargement).

D’autres dés bien connus sont les dés non transitifs ou dés d’Efron. Avec ces dés, mieux vaut-il jouer en premier ou en second pour gagner ?

Appelons A, B, C et D ces quatre dés. Voici leurs faces :

Les quatre dés ne possèdent pas la même probabilité de battre un dé choisi au hasard parmi les trois restants. Ainsi, comme au jeu enfantin « pierre, feuille, ciseau, puits », les événements élémentaires n’ont pas la même probabilité.

En somme, les dés ne sont pas transitifs, si A bat B et B bat C alors A ne bat pas nécessairement C.

Pour nous en convaincre, construisons le tableau des gains de A contre B, de B contre C et de A contre C :

Dés A contre B

Le dé A bat donc le dé B avec la probabilité 2/3.

On peut dire que A est plus fort que B.

Dés B contre C

Le dé B bat le dé C avec la probabilité 2/3.

On peut dire que B est plus fort que C.

Dés A contre C

Le dé C bat le dé A avec la probabilité 5/9.

On peut dire que C est plus fort que A contrairement au résultat auquel on s’attend. C’est en cela que ces dés ne sont pas transitifs.

Dans l’exposition, les élèves rencontrent aussi des pipés, se questionnant alors sur le hasard. Ils sont par exemple amenés à se demander combien de lancers d’un dé à 6 faces sont nécessaires pour que sortent tous les nombres de 1 à 6. Durant l’exposé, nous avons nous aussi discuté du hasard.

Tout d’abord, en critiquant des séquences obtenues en répétant une expérience aléatoire très simple telle que pile ou face. Pourquoi la séquence PFPFPFPFPFPFPFPFPFPF serait-elle plus probable que la séquence PFPPPFFPPFFFPFFPPFPP ? Faire se questionner les élèves sur ces problématiques permet certainement de mettre à plat leurs représentations et, pourquoi pas, d’en mettre à mal certaines.

Puis en confrontant des simulations obtenues avec Geogebra, nous avons évoqué les amas et accumulations présentes obligatoirement dans « un bon aléatoire ».

Par ailleurs, l’exposition propose un focus sur la planche de Galton et son triangle de Pascal. Que se passe-t-il lorsque l’on élimine les nombres pairs du triangle de Pascal ?

En utilisant un triangle à 30 lignes modulo 2, on peut reconnaître une forme fractale et le triangle de Sierpinski (on a reproduit ici les 16 1^res lignes) :

Effectivement, la somme de deux nombres pairs étant toujours paire, deux zéros dans une ligne du triangle produiront un zéro en dessous.

Alors cette configuration se reconnaîtra aussi pour des multiples d’autres nombres ayant la même propriété.

Nous avons pu le voir pour des triangles de Pascal modulo p où p est un nombre premier et je vous laisse chercher dans la littérature la démonstration.

Une autre curiosité du triangle est celle de l’expérience aléatoire suivante :

– Construisons un triangle
– Plaçons un point aléatoirement à l’intérieur de ce triangle (le point rouge sur l’illustration ci-dessous)
– Plaçons les milieux des segments reliant ce point à chacun des sommets du triangle
– Recommençons avec un autre point

Voici le résultat après avoir répété l’expérience 1830 fois :

Bien d’autres thèmes sont abordés dans l’exposition avec des supports attractifs comme le paradoxe des anniversaires, la cryptographie ou le problème du collectionneur de vignettes.

En conclusion, si je trouve l’approche par la manipulation nécessaire, les expériences ne peuvent de toute façon se suffire à elles-mêmes. Une visite avec une classe en amont d’un cours pouvait donc être fructueuse tant elle motivait les discussions. Pour ce faire, il est utile prévoir de faire prendre des notes aux élèves, le document d’accompagnement proposé aux enseignants par la Palais constituait à ce titre une très bonne base. Je l’ai d’ailleurs utilisé pour rédiger cet article.

Pour reprendre le thème de la semaine des maths, bonne idée que cet exemplaire grandeur plus que nature de « cent mille milliards de poèmes » de R. Queneau que les élèves pouvaient manipuler.

Avec une classe

J’ai visité l’exposition avec une classe de 5^e en cette fin d’année.

Les élèves se sont montrés motivés et ont particulièrement apprécié le côté jeu.

Nous avons fait un bilan de certaines expériences en classe et cela a constitué une très bonne entrée dans le thème du hasard et des probabilités.

L’exposition est encore visible jusqu’au 27 août. De quoi trouver une source d’inspiration pour les cours de l’an prochain…