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Avis de recherche
Article mis en ligne le 24 janvier 2022
dernière modification le 28 juin 2022

par Serge Seguin

Avis de recherche du n°190

Rappelons l’avis de recherche du numéro 190 d’octobre 2021 :

Déterminer l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux droites perpendiculaires, l’une tangente et l’autre normale (en des points différents) à l’hyperbole $(H)$ d’équation $y = \dfrac{1}{x}$.

Problème ouvert : Cette courbe fait-elle partie des courbes historiques ?

Voici une solution à cet avis.

Soit $t$ un réel non nul.
La tangente $(T)$ à l’hyperbole $(H)$ au point $T$ d’abscisse $t$ a pour équation :

$$y = -\dfrac{1}{t^2}(x - t) + \dfrac{1}{t}$$

Soit $n$ un réel non nul. La normale $(N)$ à $(H)$ au point $N$ d’abscisse $n$ a donc comme coefficient directeur l’opposé de l’inverse de $-\dfrac{1}{n^2}$, donc $n^2$.
Mais comme $(T)$ et $(N)$ doivent être perpendiculaires,
on a donc $n^2 \times \left(-\dfrac{1}{t^2}\right) = − 1$ , donc $n^2 = t^2$.
Comme $T$ et $N$ doivent être distincts, on a donc $n = -t$.
$N$ est donc le symétrique de $T$ par rapport à l’origine $O$, ce qui est dû au fait que $(H)$ est symétrique par rapport à $O$.

Une équation de $(N)$ est $y = n^2 ( x − n ) + \dfrac{1}{n}$ donc $y = t ^2( x + t ) - \dfrac{1}{t}$.

Les coordonnées de $M$, point d’intersection de $(T)$ et de $(N)$, vérifient :

$$\left\{ \begin{array}{rcr} y & = & -\dfrac{1}{t^2}(x - t) + \dfrac{1}{t} \\ y & = & t ^2( x + t ) - \dfrac{1}{t} \end{array} \right. \quad t \in \mathbb{R}^*$$


Ce qui permet d’obtenir :

$$\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{t(3 - t^4)}{t^4 + 1} \\ y & = & \dfrac{3t^4 - 1}{t(t^4 + 1)} \end{array} \right. \quad t \in \mathbb{R}^*$$


Geogebra, un outil que notre collègue Alain — initiateur de ces avis de recherche — n’hésitait pas à utiliser pour se donner des pistes et résoudre les problèmes soumis à votre sagacité, permet alors d’obtenir une représentation graphique de la courbe correspondante (en rouge) :

Reste à déterminer s’il s’agit d’une courbe historique : saurez-vous nous le dire ?

 

Nouvel avis de recherche

Soit $ABCD$ un carré de longueur de côté 1.
Toutes les constructions suivantes se passent à l’intérieur de ce carré.

  • On trace le demi-cercle $\mathscr{C_1}$ de diamètre $[AB]$.
  • On trace le demi-cercle $\mathscr{C_2}$ passant par $C$, de centre $E$ appartenant à $[BC]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_1}$.
  • On trace le demi-cercle $\mathscr{C_3}$ passant par $D$, de centre $F$ appartenant à $[CD]$ et tangent extérieurement à $\mathscr{C_2}$.



  1. Montrer qu’il existe un unique demi-cercle $\mathscr{C_4}$ à l’intérieur du carré, de centre $G$ appartenant à $[DA]$ et tangent extérieurement à la fois à $\mathscr{C_1}$ et à $\mathscr{C_3}$.
  2. Calculer $AG$.


    Prolongements :



  • 2 cercles tangents $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$, d’une part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_3}$ et $\mathscr{C_4}$ (est-ce possible ?), et d’autre part aux cercles $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_2}$ et $\mathscr{C_3}$ (idem) ; ces 2 cercles $\mathscr{C_5}$ et $\mathscr{C_6}$ ont pour centres respectifs $O_5$ et $O_6$ : sont-ils alignés avec $E$ et $G$ ?
  • et si on rajoute un cercle $\mathscr{C_7}$ tangent à $\mathscr{C_5}$, $\mathscr{C_6}$, $\mathscr{C_1}$ et $\mathscr{C_3}$ (est-ce d’ailleurs possible ?), son centre $O_7$ est-il aligné avec $F$ et $I$ ?

 

Pour cet avis de recherche, ainsi que des compléments sur des avis précédents, écrivez-nous à l’adresse des problèmes des Chantiers.

 

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Les chantiers de pédagogie mathématique n°191 janvier 2022
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